Передаточные функции самолета в боковом движении

После преобразования по Лапласу системы дифферен­циальных уравнений бокового управляемого движения самолета (17.7) получим систему неоднородных алгебраических уравнений первого порядка. Неизвестными в этой системе будут изображения параметров бокового возмущенного движения, вызванного отклоне­нием органов управления боковым движением (J (р), ау (р), со* (р), У (р)

(р — 1р) р (р) — cos а (Ну (р) — sin а (р) —

— cos ft у (р) = 2®% (р);

-М^(р)-(р-Му«)ау(р)-

— Муха>х (р) = Му” 6н(р) + М6УВ бз (р); (17.34)

— л?£р (р) — Ж%і, (р) 4- (р — лС*) х

х (о* (р) = Ж>6„ (р) + А?*0 6Э (р);

tg Ъь>у (р) — co*(p) + РУ (Р) = 0.

Задавшись одним из управляющих воздействий 6t и полагая осталь­ные воздействия равными нулю, приведем правые части уравнений к виду

ҐЧ(р), М% (р), Ж%(Р).

Решение системы (17.34) будет иметь следующий вид:

Р(р)=-х". ®х(р)=%е; у(р) = ^£—

Здесь А —определитель системы. Он представляет собой полином четвертой степени, подобный левой части характеристического урав­нения (17.10); Ар, Аюзс, Аюу, Av —определители, в которых соот­ветствующие столбцы заменены правыми частями уравнений (17.34). Раскрыв эти определители, получим полиномы второй степени вида (b2ip2 4- bup 4- Ьоі) б і (р). Коэффициенты полиномов даны в § 17.2. Передаточные функции, характеризующие реакцию самолета на управляющие воздействия, будут выражаться следующим образом:

т _ VI (Р) ____________ 6aiPa 4 ЬііР 4 ftpj_________ /1 п оеч

уі/6і 6і(р) р14 «вР8 4 «аРа 4 «іР 4 Оо ‘ ‘ ‘ ‘

Формулы для определения значений а3 а2, alt а0 приведены ранее (см. (17.11)). Передаточные функции в форме (17.35) позволяют опре­делить реакцию самолета на управляющие воздействия в виде откло­нения элеронов, руля направления, органов НУБС с большой точ­ностью, но при этом из-за сложности этих функций качественный анализ характеристик управляемости невозможен. Поэтому в даль­нейшем будем пользоваться упрощенными передаточными функ­циями, полученными путем упрощения системы уравнений (17.34), описывающей боковое возмущенное движение.

В Качестве первого шага на пути упрощения математической модели бокового движения отбросим из первого уравнения слагае­мое, содержащее силу тяжести. Далее будем считать Z я = 0, т. е. будем пренебрегать поперечной аэродинамической силой, возника­ющей при отклонении руля направления. Эти силы влияют на мед­ленное траекторное движение. Поэтому при исследовании управляе­мости, характеристики которой определяются, главным образом, быстрым движением, ими можно пренебречь. При сделанных допуще­ниях первые три уравнения системы (17.34) могут решаться незави­симо от последнего, т. е. порядок полинома в знаменателях переда­точных функций понизится на единицу и знаменатель может быть представлен в виде

А = (р — Ркр) (Р2 + 2 h6p + toe), (17.36)

—О

где Ркр — = Мх* — большой действительный корень, опреде­

ляющий апериодическое движение крена; /гб, соб — коэффициенты, определяющие затухание и частоту боковых колебаний.

Реакция самолета на отклонение органов поперечного управления

Органы поперечного управления служат для создания мо­мента относительно продольной оси самолета ОХ (Л4*3б.,), но, в об­щем случае, он л еоздоог не только этот момент, но и момент Мув69‘ 316

Направление этого момента й его величина Могут существенно ме­няться, оказывая влияние различного характера на поперечную управляемость самолета, т. е. на то, как самолет реагирует на откло­нение органов поперечного управления.

Чтобы проанализировать это влияние, опишем движение само­лета при отклонении элеронов (или других органов поперечного управления) на угол 68 с помощью следующей упрощенной системы дифференциальных уравнений:

Р = 2^Р 4"

ю„ = + Жу“(£>у + МІ%) (17.37)

<»* = м£р + м%, + м*86э.

Здесь наряду с упомянутыми допущениями о несущественном влия­нии сил гравитации принято, что cos а = 1, sin а = 0, т. е. рассма­тривается движение самолета при небольших углах атаки. Не учи­тываются здесь спиральные моменты крена и рыскания

Мхв0йу и МуХ(о*.

При сделанных допущениях связь движений рыскания и крена опре­деляется только за счет моментов от отклонения органов поперечного управления.

После преобразования уравнений (17.37) получим

(p-Ze)p(p)-©„(p) = 0;

— (Р) +{р — Myv) ю„(р) = AfJ06s (р); (17.38)

— MSР (р) + (р — Жх) со, (р) = Ж>6, (р).

Составим и раскроем определитель системы А

(p_Ze) -1

-МІ (р-Mp)

-М о

= (р ~ Ркр) (р2 + 2Ыр + cog).

pKt = M?*

Щ=-(F+Муи) = — (-$- 4+Му");

= _ Щ + z4ty* = —Wy 4- — f-п Му».

При исследовании реакции самолета на отклонение бэ наиболь­ший интерес представляет скорость крена, вызванная этимуправля-

ЮЩим воздействием. Поперечная управляемость самолета оцени­вается как удовлетворительная только в том случае, если знак со* противоположен знаку 6., и максимальная величина угловой скорости крена не менее 0,25 … 0,3 1/с.

Для определения передаточной функции W0 е

х э Овр) Л

составим определитель Дю*, заменив последний столбец определи­теля А правыми частями уравнений (17.38)

(р — Zp) — 1 о

-Ж [p-Kv] м! ъ(р)

-Ж о м>б,(р)

^бэЖ^(р2{2НбР1~(йб),

Г СИ* 6

где СО] = <0(5

Следовательно, искомая передаточная функция будет иметь следую­щий вид:

w ^э(р2 + 2У + ш?)

“А (р—М>)(р2 + 2Л6Р + “ I)

С помощью выражения (17.41) легко установить характер реакции самолета по угловой скорости крена на отклонение органов попереч­ного управления.

Как видим, решающее значение здесь имеет отношение квадратов частот оф и cog. Если эти частоты равны, а это возможно, когда откло­нение элеронов не вызывает изменения угла рыскания (Муа = 0) или когда самолет нейтрален в отношении поперечной статической устойчивости (м5 = 0), при отклонении элеронов или иных органов поперечного управления в соответствии с принятыми допущениями

(sin а — 0, тух = 0, тху —. 0) будет иметь место изолированное движение крена. Передаточная функция по угловой скорости крена

будет иметь характер устойчивого апериодического звена с постоян-

— £0

ной времени Т„ = —JxlMxx и коэффициентом усиления Кэ =

— ….. м1а/мхх

кв

3 Т’-лР + 1

Переходный процесс после мгновенного отклонения элерона на один градус будет определяться формулой

«V

Время этого переходного процесса /п, по истечении которого отличие угловой скорости крена от установившегося значения будет равно

_ <п т

5 %, определится из условия е 3 = 0,05, откуда tn — — In 0,05 X X Ts = 3Тэ.

Установившеєся значение угловой скорости крена при отклоне­нии элеронов на один радиан можно определить из передаточной функции (17.42). Подставляя в передаточную функцию р == 0, полу­чим значение (Озсуст при мгновенном, отклонении ^элеронов на угол, равный единице (1 рад.):

Л?>

<*xycv = Ka=— — .

1Г1х

Характер переходного процесса в изолированном движении крена изображен на рис. 17.2. Реакция самолета на отклонение элеронов по гармоническому закону (6а = sin со/) будет иметь тоже гармони­ческий характер (по окончании переходного процесса), но гармо­ника СО ж — A sin (сot + ф) будет иметь иную — амплитуду и будет сдвинута по фазе. Амплитуда А и запаздывание по фазе будут зави­сеть от частоты со, как показано’на’рис. 17.3.

Так’как угол крена равен интегралу от угловой скорости крена, реакция самолета по крену на ступенчатое (скачкообразное) откло­нение органов поперечного управления при cof/co^ — 1 будет иметь вид, изображенный на рис. 17.4, а. В общем случае coj и щ в числи­теле и знаменателе передаточной функции (17.41) неравны, следова­тельно, реакция самолета по крену и угловой скорости крена на от­клонение органов поперечного управления будет иной.

Пусть самолет обладает поперечной статической устойчивостью и при отклонении элеронов на положительный угол момент рыска­ния от элеронов тоже положителен (Мув > 0). Тогда, имея в виду, что Мх° < 0, получим _^_в

ю? = (4 + М^>с4; ~> 1. (17.43)

М® тб

Из формул (17.41) и (17.43) следует, что установившаяся скорость крена возрастет по сравнению с предыдущим случаем из-за взаимо­действия движений крена и рыскания. Произойдет как бы «под­крутка» самолета. На первый взгляд может показаться, что здесь возрастает эффективность управления и увеличение частоты ©і играет положительную роль, но это не так. При более или менее зна­чительном увеличении отношения возникает раскачка само­

лета летчиком, управляемость самолета ухудшается.

Если производная Му* будет отрицательной, то при наличии у самолета поперечной статической устойчивости отношение cof/co§ будет меньше единицы. Угловая скорость крена при отклонении элеронов будет в этом случае меньше, и по мере уменьшения отноше­ния частот наступает так называемое зависание самолета по крену, угловая скорость начинает падать, нарастание угла крена или замед­ляется, или прекращается совсем. Это ощущается летчиком, как падение эффективности поперечного управления.

Если отношение частоты tof/toe станет отрицательным, возникнет обратная реакция самолета на отклонение 6В, что, безусловно, не­допустимо. Объяснить влияние взаимодействия между движениями крена и рыскания на поперечную управляемость можно из простых физических соображений. Пусть у самолета, обладающего попереч­ной статической устойчивостью (М* < 0), производная от момента рыскания по углу отклонения элеронов положительна. Тогда поло­жительный угол 6Э приведет к возникновению положительного мо­мента рыскания М/Ьв. Под действием этого момента самолет приоб­ретает положительную скорость toy и, как следствие, положительное скольжение [см. уравнения (17.37)1. Из-за положительного сколь­жения возникает отрицательный момент крена который, скла­дываясь с отрицательным моментом М*®68, будет «подкручивать» самолет. При Ми* < 0 и прочих равных условиях картина будет 320

обратной. Момент Муе6В будет вызывать отрицательную скорость рыскания и отрицательное скольжение (на левое полу крыло). Вслед­ствие этого скольжения возникает положительный момент крена МІР который будет тормозить движение крена или даже изменит его на­правление.

Было рассмотрено взаимодействие крена и рыскания из-за мо­мента Mv, возникающего при отклонении органов поперечного управления. На самом деле на это взаимодействие влияет также ки­нематическая связь между движением крена и рыскания. Эта связь обусловлена наличием в уравнении сил для бокового движения са­молета слагаемого sin а-со*. Чем больше угол атаки самолета, тем больше будет влияние движения крена на движение рыскания, больше угол скольжения и сильнее обратное влияние движе­ния рыскания на движение крена. В отличие от предыдущего случая, кинематическая связь всегда оказывает тормозящее воз­действие на движение крена, способствуя зависанию самолета по крену.

В итоге реакция самолета по крену на отклонение органов по­перечного управления будет иметь вид, изображенный на рис. 17.4. Типичным для современных самолетов со стреловидными крыльями является наличие зависания по крену (см. рис. 17.4, в). Особенно значительно оно на больших углах атаки, когда поперечная стати­ческая устойчивость возрастает, а путевая уменьшается. Производ­ная от момента рыскания по углу отклонения элеронов на больших углах атаки отрицательна. При этом отношение квадратов частот cof/co§ будет меньше единицы. Летная практика показывает, что если уменьшение угловой скорости крена вследствие зависания будет значительным, то поперечная управляемость самолета оцени­вается, как неудовлетворительная. Так как повышение поперечной статической устойчивости на больших углах атаки у современных са­молетов со стреловидными крыльями неизбежно, уменьшать вели­чину Асодс приходится путем увеличения поперечного демпфирования, которое уменьшает колебательность переходного процесса по угло­вой скорости крена.

Как видно из выражения (17.42), с увеличением демпфирующего момента крена, при прочих равных условиях, падает установившееся значение угловой скорости крена, а это ухудшает поперечную управ­ляемость. В соответствии с Нормами летной годности установившаяся угловая скорость крена при полном отклонении органов поперечного управления пассажирского самолета не должна быть меньше 0,251/с. Для маневренных самолетов эта величина должна быть в несколько раз больше. Поэтому, увеличение поперечного демпфирования на больших у’глах атаки должно сопровождаться повышением эффектив­ности поперечного управления, увеличением модуля величины Мхь. С этой целью иногда снабжают самолет несколькими органами попе­речного управления. Например, наряду с основными органами упра­вления — элеронами, на больших углах атаки могут подключаться интерцепторы или дифференциальные рули.